ریاضی سال اول راهنمایی / صفحه 11-32

 

مقسوم علیه

font> مقسوم علیه های یک عدد: هر عدد طبیعی بر تعدادی از عددها بخشپذیر است که مقسوم علیه های آن عدد می باشند.

 مثال: عدد 20 بر عددهای 1 , 2, 4 , 5 , 10 , 20 بخشپذیر است، پس:

 {20, 10, 5, 4, 2, 1} = مجموعه مقسوم علیه های عدد 20

 

 

 缯font> عدد اول ( Prime number ):

هر عدد طبیعی بزرگتر از یک که غیر از خودش و یک مقسوم علیه دیگری نداشته باشد ، عدد اول نامیده می شود. 2, 3 , 5 , 7 اعداد اول کوچکتر از 10 هستند.

 

 

با توجه به شکل های بالا می توان گفت که عدد 5 عددی اول و عددهای 10 , 12 , 20 عدد اول نمی باشند.

 

مقسوم علیه های اول یک عدد:

مقسوم علیه های اول یک عدد را به دو روش می توانیم بدست آوریم:

 

الف) تجزیه  درختی:

مثال:

{2,3,5} = مقسوم علیه های اول عدد 30

{2,3,5,11} = مقسوم علیه های اول عدد 330

 

 ب) تجزیه خطی:

مثال:

{2,3,5} = مقسوم علیه های اول عدد 60

 

توضیح: در این روش برای تجزیه یک عدد از تقسیم آن عدد به عددهای اول کمک می گیریم.

 

缯font> نمودار مقسوم علیه های یک عدد:

شکل دقیقی است که به کمک آن مقسوم علیه های یک عدد را مشخص می کنند.

برای رسم نمودار مقسوم علیه های یک عدد به صورت زیر عمل می کنیم.

1- مقسوم علیه های اول عدد را بدست می آوریم.

2- به ازای هر مقسوم علیه اول یک یا یک دسته خطوط موازی رسم می کنیم.

3- عدد را بر مقسوم علیه های اول تقسیم کرده تا به کوچکترین مقسوم علیه هر عدد برسیم.

 

 مثال:

 

缯font> مضرب (multiple):

مضرب در لغت به معنی مکانی است که در آن خیمه بر پا کنند و در ریاضی مضربهای طبیعی یک عدد، از ضرب آن عدد در عددهای 1 , 2 , 3 , ... بدست می آیند.

 

 

مجموعه مضربهای عدد 5 عبارت است از       { ... , 15, 10 , 5 }

مجموعه مضربهای عدد 8 عبارت است از       { ... , 24, 16 , 8 }

 

 缯font> بزرگترین مقسوم علیه مشترک دو عدد (greatest common divisor)

دو عدد طبیعی در نظر بگیرید . بزرگترین عددی که هر دو عدد بر آن بخشپذیر باشند ، را بزرگترین مقسوم علیه مشترک آن دو عدد می نامند.

بزرگترین مقسوم علیه مشترک را به اختصار ? ب . م . م ? می گویند و برای نمایش آن از علامت ?П  ? استفاده می شود.

مثال:

بزرگترین مقسوم علیه مشترک دو عدد 20 و 12 برابر 4 است.

به عبارت دیگر بزرگترین عددی که دو عدد 20 و 12 بر آن بخشپذیر باشد ، 4 است.

 

 缯font> روش نردبانی (ladder method)

شکل دقیقی است مانند نردبان که به کمک آن بزرگترین مقسوم علیه مشترک دو عدد را مشخص می کنند.

مثال:

 

 

 

缯font> کوچکترین مضرب مشترک (least common multiple):

دو عدد در نظر بگیرید. مضرب های آن ها را بنویسید. از میان آن ها کوچکترین عددی را که مضرب هر دو عدد باشد را ? کوچکترین مضرب مشترک ? آن دو عدد می نامند.

کوچکترین مضرب مشترک دو عدد را به اختصار ? ک . م . م ? می گویند و برای نمایش آن از نماد ? ? ? استفاده می شود.

کوچکترین مضرب مشترک دو عدد 6 و 9 برابر 18 است.

به عبارت دیگر: 18 کوچکترین عددی است که مضرب هر دو عدد 6 و 9 است.

 

 روش تعیین کوچکترین مضرب مشترک:

 برای  تعیین کوچک ترین مضرب مشترک دو عدد به صورت زیر عمل می کنیم:

* ابتدا بزرگترین مقسوم علیه مشترک آنها را پیدا می کنیم.

* یکی از دو عدد را بر بزرگترین مقسوم علیه مشترک به دست آمده تقسیم می کنیم.

* خارج قسمت را در عدد دیگر ضرب می کنیم.

عدد حاصل ، کوچکترین مضرب مشترک دو عدد مفروض است.

محاسبه کوچک ترین مضرب مشترک دو عدد را می توانیم به طور خلاصه به صورت زیر بنویسیم:

 

 

 

 

 

1- کوچکترین مقسوم علیه هر عدد 1 است و بزرگترین مقسوم علیه هر عدد خودش می باشد.

2- کوچکترین مضرب هر عدد خود عدد و بزرگترین مضرب هر عدد مشخص نمی باشد.

3- به اعداد اولی که اختلاف آن ها 2 باشد ، اعداد اول دوقلو می گویند مثال : 11 , 13

4- اعدادی که بیشتر از دو مقسوم علیه داشته باشند ، اعداد مرکب نامیده می شوند.

5- برای یافتن ب . م . م و ک . م . م دو عدد می توانیم از راه تجزیه استفاده کنیم.

 

مراحل انجام کار به صورت زیر می باشد:

* ابتدا هر دو عدد را به حاصل ضرب عوامل اول تجزیه می کنیم.

* ب . م . م عبارت است از : حاصل ضرب عوامل مشترک با کمترین توان

* ک . م . م عبارت است از : حاصل ضرب عوامل مشترک و غیر مشترک با بیشترین توان.

مثال: ب . م . م  و ک . م . م  دو عدد 108 و 30 را بیابید.

 

 برای بدست آوردن تعداد مقسوم علیه های یک عدد از فرمول زیر استفاده می کنیم:

 

 مثال: تعداد مقسوم علیه های عدد 72 را بدست آورید؟

 

بنابراین عدد 72 دارای 12 عدد مقسوم علیه می باشد.

 

 

 

 

 : تست1?>

1. عدد 78 چند مقسوم علیه اول دارد؟

د) 4 تا

ج) یکی

ب) 2تا

الف) 3 تا

 

---

 

: تست2?> 

2. کدام دسته از اعداد زیر همگی اول هستند؟

د) {79,89,97}

ج) {17,19,143}

ب) {7,1,5}

الف) {11,13,91}

 

---

 

: تست3 ?> 

3. در نمودار مقابل به جای X چه عددی می توان نوشت؟

الف) 70

ب) 15

ج) 30

د) 45                 

 

 

---

 

 : تست4?>

4. در نمودار نردبانی مقابل جای a و b چه اعدادی می توان قرار داد؟

الف ) 276 و 72

ب) 82 و 176

ج) 376 و 72

د) 82 و 172

 

 

---

 

  : تست5 ?>

5. a و  b دو عدد اول مختلف می باشند ، حاصل ضرب a ׼/font> b دارای چند مقسوم علیه است؟

د) 5

ج) 2

ب) 3

الف) 4

 

---

 

: تست6 ?>  

6. اگر٤٥ П X = ٩  و ٤٥ ? X = ٢۷۰  باشد ، مقدار X کدام است؟

د)54

ج)48

ب)12

الف)24

 

---

 

 : تست7 ?>

7. اگر a П b = ٣  و a ? b = ۶۰ و b=١۵ باشند ،  a  کدام گزینه است؟

د)60

ج)3

ب)12

الف)24

 

---

 

 : تست8 ?>

8. در شکل مقابل داریم : محیط چرخ کوچک 6 و محیط چرخ بزرگ 8 سانتی متر است. چرخ کوچک چند دور بزند تا برای بار پنجم دو علامت مقابل هم قرار بگیرند.

الف) 20

ب) 40

ج) 30

د) 15

 

---

 

 : تست9 ?>

9. اگر a یک عدد طبیعی باشد ، حاصل  برابر است با:

د) a^۴

ج) a^٣

ب) a^٢

الف) a

 

---

 

 : تست10 ?>

 10. اختلاف مجموع اعداد اول کوچکتر از 30 با مجموع اعداد اول کوچکتر از 20 چند است؟

د)81

ج)52

ب)129

الف)77

 

برگرفته از وب :سازمان آموزش و پرورش قم

ریاضی سال اول راهنمایی / صفحه 33- 37

توان (power)

 

缯font> توان به معنی قدرت، قوه و زور می باشد و در ریاضی حاصل ضرب چند عدد مساوی در یکدیگر را به صورت ?توان? نشان می دهیم.

مثال: در عبارت 5 ׼/font> 5 נ5 נ5 عدد پنج، چهار مرتبه تکرار شده است. در ریاضی برای ساده نویسی آن را به صورت 5⁴ می نویسیم و می خوانیم ? پنج به توان چهار? عدد 5 پایه و عدد 4 توان نامیده می شود.

 

در شکل بالا، هر سلول به دو سلول تقسیم می شود. در جدول زیر سلول ها در هر مرحله را به کمک یک عدد تواندار نشان می دهیم.

 

در افسانه ها می گویند وقتی پادشاه هند از بازی شطرنج خوشش آمد، مخترع شطرنج را به حضور طلبید و از او خواست جایزه ای برای پاداش طلب کند. او درخواست خود را اینطور مطرح کرد: ? در صفحه شطرنج و در خانه اول برای من یک دانه گندم، در خانه دوم دو برابر خانه اول و در خانه سوم دو برابر خانه دوم گندم قرار دهید و به همین ترتیب پیش بروید.? پادشاه از درخواست او تعجب کرد و دستور داد به او یک کیسه گندم بدهند. به نظر شما آیا در خواست مخترع شطرنج به اندازه یک کیسه گندم بوده است؟

 

 

 

 

 

 

 

 

1- هر عدد که توان آن نوشته نشده است، توان آن یک است.                    a = a^١

2- یک به هر توانی که برسد برابر یک می باشد.                               1 = ۱^a

3- هر عدد بجز صفر، به توان صفر برابر یک است.            (◦≠ aا)          1 =  a^◦

4- در ضرب عددهای تواندار با پایه های مساوی، یکی از پایه ها را نوشته، توان ها را با هم جمع        می کنیم.

a^b ׼/font> a^c = a^b+c

5- توان دوم یک عدد را مجذور یا مربع آن عدد می نامند. 25 مجذور عدد 5 می باشد.

6- توان سوم یک عدد را مکعب آن عدد می نامند. 27 مکعب عدد 3 است.

7- در ضرب عددهای تواندار با توان های مساوی، یکی از توان ها را نوشته پایه ها را در هم ضرب       می کنیم.

 

 

8-      -->                   

 

 

 : تست1?>

1- مکعب کدام یک از اعداد زیر چهار برابر مجذورش است؟

د)16

ج)1

ب)4

الف) 2

 

---

 

  : تست2?>

2- حاصل عبارت   ۷ ׼/font> ۲^۸۱+ ۲^۸۱= ?  به صورت عدد تواندار برابر است با:

د) ۲^۸۸

ج) ۸^۲۴

ب) ۴^۴۲

الف) ۲^۸^۲

 

---

 

 : تست3 ?>

3- اختلاف مکعب و مجذور 1/. کدام است؟

د)009/0

ج)59/0

ب)999/0

الف) 099/0

 

---

 

 : تست4?>

4- نصف عدد  ۲^۲۰  برابر است با :

د) ۲^۱۸

ج) ۱^۲۰

ب) ۲^۱۰

الف) ۲^۱۹

 

---

 

: تست5 ?>  

5- اگر 2^a=٣  باشد ، مقدار  2^a+۳  برابر است با:

 

د)20

ج)18

ب)24

الف)6

 

برگرفته از وب :سازمان آموزش و پرورش قم

ریاضی سال اول راهنمایی / صفحه 1-10

 

ریاضی سال اول راهنمایی / صفحه 1-10

حساب اعداد طبیعی

 

缯span> عدد طبیعی : ((Natural Number

طبیعی یعنی آنچه به طبیعت اختصاص دارد، آنچه مربوط به طبیعت است و در ریاضی هر یک از اعداد  1, 2, 3, 4, 5,... که در طبیعت برای شمارش و شمردن از آن استفاده می شود را (عدد طبیعی) می نامیم.

 

 缯span> قواعد بخشپذیری:

3عددی بر 2 بخشپذیر است که: رقم یکان آن زوج باشد.

3عددی بر 3 بخشپذیر است که: مجموع ارقام آن بر 3 بخشپذیر باشد.

3عددی بر 4 بخشپذیر است که: دو رقم سمت راست آن صفر باشد یا عدد دو رقمی سمت راست آن بر 4 بخشپذیر باشد.

3عددی بر 5 بخشپذیر است که: رقم یکان آن صفر یا 5 باشد.

3عددی بر 6 بخشپذیر است که: هم بر 2وهم بر3 بخشپذیر باشد.

3عددی بر 7 بخشپذیر است که: اگر رقم یکان را 2برابر کرده و از بقیه ارقام کم کنیم، عدد حاصل بر 7 بخشپذیر باشد.

3عددی بر 7 بخشپذیر است که: اگر رقم یکان را 5 برابر کرده و با بقیه ارقام جمع کنیم ، عدد حاصل بر 7 بخشپذیر باشد.

 

3عددی بر 8 بخشپذیر است که: عدد سه رقمی سمت راست آن بر 8 بخشپذیر باشد یا سه رقم سمت راست آن صفر باشد.

3عددی بر 11 بخشپذیر است که: اگر ارقام آن را یک در میان با هم جمع کنیم و اختلاف حاصل صفر شد آن عدد بر 11 بخشپذیر است                                                                                                                     

0=11-11            11=2+9            11=7+4                4972

3عددی بر 12 بخشپذیر است که: هم بر 3 و هم بر 4 بخشپذیر باشد.

3عددی بر13 بخشپذیر است که: اگر رقم یکان را  4 برابر کرده و با بقیه ارقام جمع کنیم عدد حاصل بر 13 بخشپذیر باشد.

39=19+20            20=4׼/font>5            195

3عددی بر 15 بخشپذیر است که: هم بر 3 و هم بر 5 بخشپذیر باشد.

3عددی بر 17 بخشپذیر است که: اگر رقم یکان آن را 5 برابر کنیم و اختلاف آن را با بقیه ارقام حساب کنیم عدد حاصل بر 17 بخشپذیر باشد.

34=11-45            45=5׼/font>9            119

3عددی بر 19 بخشپذیر است که:  مجموع دو برابر رقم یکان با بقیه ارقام بر 19 بخشپذیر باشد.

3عددی بر 23 بخشپذیر است که:  مجموع 7 برابر رقم یکان با بقیه ارقام مضربی از 23 باشد.

3عددی بر 27 بخشپذیر است که: اگر آن را بر 3 تقسیم کنیم خارج قسمت بر 9 بخشپذیر باشد.

3عددی بر 28 بخشپذیر است که: هم بر 4 و هم بر 7 بخشپذیر باشد.

3عددی بر 29 بخشپذیر است که: مجموع سه برابر رقم یکان با بقیه ارقام بر 29 بخشپذیر باشد .           

29=14+15            15=3׼/font>5            145

3عددی بر30 بخشپذیر است که: هم بر 3 و هم بر 10 بخشپذیر باشد.

 

---

 

?> تست1 : 

کدام یک از اعداد زیر بر 4 بخش پذیر نیست ؟

د) 3520

ج) 2342

ب) 9412

الف) 3448

 

---

 

 ?> تست2 : 

 مجموع رقم های عددی 327 است، باقیمانده تقسیم آن عدد بر 3 برابر است با :

د) 3

ج) 2

ب) 1

الف) صفر

 

---

 

?> تست3: 

باقیمانده تقسیمی عدد 4 است ، اگر مقسوم علیه عدد 5 باشد، مقسوم کدامیک از اعداد زیراست؟

د) 1381

ج) 1380

ب) 1379

الف) 1378

 

---

 

?> تست4 : 

عددی را بر اعداد 5 و 7 تقسیم کرده ایم ، با قیمانده ها به ترتیب 2 و5 و مجموع خارج قسمت ها برابر 15 شده است . این عدد کدام است؟

د) 47

ج) 43

ب) 37

الف) 35

 

---

 

?> تست5 : 

با رقمهای 1, 0, 4, 5 چند عدد سه رقمی می توان نوشت که هم بر 3 و هم بر 5 و هم بر 9 بخشپذیر باشد.

د) 4عدد     برگرفته از وب :سازمان آموزش و پرورش قم

ج) 3عدد

ب) 2عدد

6. كدام يك از جملات زير درست است؟

1) هر عدد طبيعي بر تمام مضارب خود بخش پذير است.
2) عدد 127 داراي مقسوم عليه اول است
3) مجموعه مضارب طبيعي هر عدد يك مجموعه متناهي است
4) عدد يك مضرب هيچ عددي غير از يك نيست

77. بزرگ ترين عدد سه رقمي كه فقط داراي سه مقسوم عليه اول، 2،3،5 مي باشد، كدام است؟
1) 900
2)930
3) 950
4)990

78. مجموعه اعداد اول بين 71 تا 120 چند عضو دارد؟
1)10
2)11
3)12
4)13

79. كدام يك از اعداد زير اول است؟
1)91
2)203
3)423
4)233

80. يك جعبه با 500 بسته ي دستمال كاغذي 15 سانتي متر مكعبي پر مي شود. اگر بسته ها 25 سانتي متر مكعبي باشند، در اين صورت چند بسته در يك جعبه جا مي شود؟
1) 350
2)200
3)250
4)300

خیام

غیاث الدین ابوالفتح، عمر بن ابراهیم خیام (خیامی) در سال 439 هجری (1048 میلادی) در شهر نیشابور و در زمانی به دنیا آمد که ترکان سلجوقی بر خراسان، ناحیه ای وسیع در شرق ایران، تسلط داشتند. وی در زادگاه خویش به آموختن علم پرداخت و نزد عالمان و استادان برجسته آن شهر از جمله امام موفق نیشابوری علوم زمانه خویش را فراگرفت و چنانکه گفته اند بسیار جوان بود که در فلسفه و ریاضیات تبحر یافت. خیام در سال 461 هجری به قصد سمرقند، نیشابور را ترک کرد و در آنجا تحت حمایت ابوطاهر عبدالرحمن بن احمد , قاضی القضات سمرقند اثربرجسته خودرادر جبرتألیف کرد.
خیام سپس به اصفهان رفت و مدت 18 سال در آنجا اقامت گزید و با حمایت ملک شاه سلجوقی و وزیرش نظام الملک، به همراه جمعی از دانشمندان و ریاضیدانان معروف زمانه خود، در رصد خانه ای که به دستور ملکشاه تأسیس شده بود، به انجام تحقیقات نجومی پرداخت. حاصل این تحقیقات اصلاح تقویم رایج در آن زمان و تنظیم تقویم جلالی (لقب سلطان ملکشاه سلجوقی) بود.
در تقویم جلالی، سال شمسی تقریباً برابر با 365 روز و 5 ساعت و 48 دقیقه و 45 ثانیه است. سال دوازده ماه دارد 6 ماه نخست هر ماه 31 روز و 5 ماه بعد هر ماه 30 روز و ماه آخر 29 روز است هر چهارسال، یکسال را کبیسه می خوانند که ماه آخر آن 30 روز است و آن سال 366 روز است هر چهار سال، یکسال را کبیسه می خوانند که ماه آخر آن 30 روز است و آن سال 366 روز می شود در تقویم جلالی هر پنج هزار سال یک روز اختلاف زمان وجود دارد در صورتیکه در تقویم گریگوری هر ده هزار سال سه روز اشتباه دارد.
بعد از کشته شدن نظام الملک و سپس ملکشاه، در میان فرزندان ملکشاه بر سر تصاحب سلطنت اختلاف افتاد. به دلیل آشوب ها و درگیری های ناشی از این امر، مسائل علمی و فرهنگی که قبلا از اهمیت خاصی برخوردار بود به فراموشی سپرده شد. عدم توجه به امور علمی و دانشمندان و رصدخانه، خیام را بر آن داشت که اصفهان را به قصد خراسان ترک کند. وی باقی عمر خویش را در شهرهای مهم خراسان به ویژه نیشابور و مرو که پایتخت فرمانروائی سنجر (پسر سوم ملکشاه) بود، گذراند. در آن زمان مرو یکی از مراکز مهم علمی و فرهنگی دنیا به شمار می رفت و دانشمندان زیادی در آن حضور داشتند. بیشتر کارهای علمی خیام پس از مراجعت از اصفهان در این شهر جامه عمل به خود گرفت.
دستاوردهای علمی خیام برای جامعه بشری متعدد و بسیار درخور توجه بوده است. وی برای نخستین بار در تاریخ ریاضی به نحو تحسین برانگیزی معادله های درجه اول تا سوم را دسته بندی کرد، و سپس با استفاده از ترسیمات هندسی مبتنی بر مقاطع مخروطی توانست برای تمامی آنها راه حلی کلی ارائه کند. وی برای معادله های درجه دوم هم از راه حلی هندسی و هم از راه حل عددی استفاده کرد، اما برای معادلات درجه سوم تنها ترسیمات هندسی را به کار برد؛ و بدین ترتیب توانست برای اغلب آنها راه حلی بیابد و در مواردی امکان وجود دو جواب را بررسی کند. اشکال کار در این بود که به دلیل تعریف نشدن اعداد منفی در آن زمان، خیام به جوابهای منفی معادله توجه نمی کرد و به سادگی از کنار امکان وجود سه جواب برای معادله درجه سوم رد می شد. با این همه تقریبا چهار قرن قبل از دکارت توانست به یکی از مهمترین دستاوردهای بشری در تاریخ جبر بلکه علوم دست یابد و راه حلی را که دکارت بعدها (به صورت کاملتر) بیان کرد، پیش نهد.
خیام همچنین توانست با موفقیت تعریف عدد را به عنوان کمیتی پیوسته به دست دهد و در واقع برای نخستین بار عدد مثبت حقیقی را تعریف کند و سرانجام به این حکم برسد که هیچ کمیتی، مرکب از جزء های تقسیم ناپذیر نیست و از نظر ریاضی، می توان هر مقداری را به بی نهایت بخش تقسیم کرد. همچنین خیام ضمن جستجوی راهی برای اثبات "اصل توازی" (اصل پنجم مقاله اول اصول اقلیدس) در کتاب شرح ما اشکل من مصادرات کتاب اقلیدس (شرح اصول مشکل آفرین کتاب اقلیدس)، مبتکر مفهوم عمیقی در هندسه شد. در تلاش برای اثبات این اصل، خیام گزاره هایی را بیان کرد که کاملا مطابق گزاره هایی بود که چند قرن بعد توسط والیس و ساکری ریاضیدانان اروپایی بیان شد و راه را برای ظهور هندسه های نااقلیدسی در قرن نوزدهم هموار کرد. بسیاری را عقیده بر این است که مثلث حسابی پاسکال را باید مثلث حسابی خیام نامید و برخی پا را از این هم فراتر گذاشتند و معتقدند، دو جمله ای نیوتن را باید دو جمله ای خیام نامید. البته گفته می شودبیشتر از این دستور نیوتن و قانون تشکیل ضریب بسط دو جمله ای را چه جمشید کاشانی و چه نصیرالدین توسی ضمن بررسی قانون های مربوط به ریشه گرفتن از عددها آورده اند.
استعداد شگرف خیام سبب شد که وی در زمینه های دیگری از دانش بشری نیز دستاوردهایی داشته باشد. از وی رساله های کوتاهی در زمینه هایی چون مکانیک، هیدرواستاتیک، هواشناسی، نظریه موسیقی و غیره نیز بر جای مانده است. اخیراً نیز تحقیقاتی در مورد فعالیت خیام در زمینه هندسه تزئینی انجام شده است که ارتباط او را با ساخت گنبد شمالی مسجد جامع اصفهان تأئید می کند.
تاریخ نگاران و دانشمندان هم عصر خیام و کسانی که پس از او آمدند جملگی بر استادی وی در فلسفه اذعان داشته اند، تا آنجا که گاه وی را حکیم دوران و ابن سینای زمان شمرده اند. آثار فلسفی موجود خیام به چند رساله کوتاه اما عمیق و پربار محدود می شود. آخرین رساله فلسفی خیام مبین گرایش های عرفانی اوست.
اما گذشته از همه اینها، بیشترین شهرت خیام در طی دو قرن اخیر در جهان به دلیل رباعیات اوست که نخستین بار توسط فیتزجرالد به انگلیسی ترجمه و در دسترس جهانیان قرار گرفت و نام او را در ردیف چهار شاعر بزرگ جهان یعنی هومر، شکسپیر، دانته و گوته قرار داد. رباعیات خیام به دلیل ترجمه بسیار آزاد (و گاه اشتباه) از شعر او موجب سوء تعبیرهای بعضاً غیر قابل قبولی از شخصیت وی شده است. این رباعیات بحث و اختلاف نظر میان تحلیلگران اندیشه خیام را شدت بخشیده است. برخی برای بیان اندیشه او تنها به ظاهر رباعیات او بسنده می کنند، در حالی که برخی دیگر بر این اعتقادند که اندیشه های واقعی خیام عمیق تر از آن است که صرفا با تفسیر ظاهری شعر او قابل بیان باشد. خیام پس از عمری پربار سرانجام در سال 517 هجری (طبق گفته اغلب منابع) در موطن خویش نیشابور درگذشت و با مرگ او یکی از درخشان ترین صفحات تاریخ اندیشه در ایران بسته شد.

غیاث الدین ابوالفتح، عمر بن ابراهیم خیام (خیامی) در سال 439 هجری (1048 میلادی) در شهر نیشابور و در زمانی به دنیا آمد که ترکان سلجوقی بر خراسان، ناحیه ای وسیع در شرق ایران، تسلط داشتند. وی در زادگاه خویش به آموختن علم پرداخت و نزد عالمان و استادان برجسته آن شهر از جمله امام موفق نیشابوری علوم زمانه خویش را فراگرفت و چنانکه گفته اند بسیار جوان بود که در فلسفه و ریاضیات تبحر یافت. خیام در سال 461 هجری به قصد سمرقند، نیشابور را ترک کرد و در آنجا تحت حمایت ابوطاهر عبدالرحمن بن احمد , قاضی القضات سمرقند اثربرجسته خودرادر جبرتألیف کرد.
خیام سپس به اصفهان رفت و مدت 18 سال در آنجا اقامت گزید و با حمایت ملک شاه سلجوقی و وزیرش نظام الملک، به همراه جمعی از دانشمندان و ریاضیدانان معروف زمانه خود، در رصد خانه ای که به دستور ملکشاه تأسیس شده بود، به انجام تحقیقات نجومی پرداخت. حاصل این تحقیقات اصلاح تقویم رایج در آن زمان و تنظیم تقویم جلالی (لقب سلطان ملکشاه سلجوقی) بود.
در تقویم جلالی، سال شمسی تقریباً برابر با 365 روز و 5 ساعت و 48 دقیقه و 45 ثانیه است. سال دوازده ماه دارد 6 ماه نخست هر ماه 31 روز و 5 ماه بعد هر ماه 30 روز و ماه آخر 29 روز است هر چهارسال، یکسال را کبیسه می خوانند که ماه آخر آن 30 روز است و آن سال 366 روز است هر چهار سال، یکسال را کبیسه می خوانند که ماه آخر آن 30 روز است و آن سال 366 روز می شود در تقویم جلالی هر پنج هزار سال یک روز اختلاف زمان وجود دارد در صورتیکه در تقویم گریگوری هر ده هزار سال سه روز اشتباه دارد.
بعد از کشته شدن نظام الملک و سپس ملکشاه، در میان فرزندان ملکشاه بر سر تصاحب سلطنت اختلاف افتاد. به دلیل آشوب ها و درگیری های ناشی از این امر، مسائل علمی و فرهنگی که قبلا از اهمیت خاصی برخوردار بود به فراموشی سپرده شد. عدم توجه به امور علمی و دانشمندان و رصدخانه، خیام را بر آن داشت که اصفهان را به قصد خراسان ترک کند. وی باقی عمر خویش را در شهرهای مهم خراسان به ویژه نیشابور و مرو که پایتخت فرمانروائی سنجر (پسر سوم ملکشاه) بود، گذراند. در آن زمان مرو یکی از مراکز مهم علمی و فرهنگی دنیا به شمار می رفت و دانشمندان زیادی در آن حضور داشتند. بیشتر کارهای علمی خیام پس از مراجعت از اصفهان در این شهر جامه عمل به خود گرفت.
دستاوردهای علمی خیام برای جامعه بشری متعدد و بسیار درخور توجه بوده است. وی برای نخستین بار در تاریخ ریاضی به نحو تحسین برانگیزی معادله های درجه اول تا سوم را دسته بندی کرد، و سپس با استفاده از ترسیمات هندسی مبتنی بر مقاطع مخروطی توانست برای تمامی آنها راه حلی کلی ارائه کند. وی برای معادله های درجه دوم هم از راه حلی هندسی و هم از راه حل عددی استفاده کرد، اما برای معادلات درجه سوم تنها ترسیمات هندسی را به کار برد؛ و بدین ترتیب توانست برای اغلب آنها راه حلی بیابد و در مواردی امکان وجود دو جواب را بررسی کند. اشکال کار در این بود که به دلیل تعریف نشدن اعداد منفی در آن زمان، خیام به جوابهای منفی معادله توجه نمی کرد و به سادگی از کنار امکان وجود سه جواب برای معادله درجه سوم رد می شد. با این همه تقریبا چهار قرن قبل از دکارت توانست به یکی از مهمترین دستاوردهای بشری در تاریخ جبر بلکه علوم دست یابد و راه حلی را که دکارت بعدها (به صورت کاملتر) بیان کرد، پیش نهد.
خیام همچنین توانست با موفقیت تعریف عدد را به عنوان کمیتی پیوسته به دست دهد و در واقع برای نخستین بار عدد مثبت حقیقی را تعریف کند و سرانجام به این حکم برسد که هیچ کمیتی، مرکب از جزء های تقسیم ناپذیر نیست و از نظر ریاضی، می توان هر مقداری را به بی نهایت بخش تقسیم کرد. همچنین خیام ضمن جستجوی راهی برای اثبات "اصل توازی" (اصل پنجم مقاله اول اصول اقلیدس) در کتاب شرح ما اشکل من مصادرات کتاب اقلیدس (شرح اصول مشکل آفرین کتاب اقلیدس)، مبتکر مفهوم عمیقی در هندسه شد. در تلاش برای اثبات این اصل، خیام گزاره هایی را بیان کرد که کاملا مطابق گزاره هایی بود که چند قرن بعد توسط والیس و ساکری ریاضیدانان اروپایی بیان شد و راه را برای ظهور هندسه های نااقلیدسی در قرن نوزدهم هموار کرد. بسیاری را عقیده بر این است که مثلث حسابی پاسکال را باید مثلث حسابی خیام نامید و برخی پا را از این هم فراتر گذاشتند و معتقدند، دو جمله ای نیوتن را باید دو جمله ای خیام نامید. البته گفته می شودبیشتر از این دستور نیوتن و قانون تشکیل ضریب بسط دو جمله ای را چه جمشید کاشانی و چه نصیرالدین توسی ضمن بررسی قانون های مربوط به ریشه گرفتن از عددها آورده اند.
استعداد شگرف خیام سبب شد که وی در زمینه های دیگری از دانش بشری نیز دستاوردهایی داشته باشد. از وی رساله های کوتاهی در زمینه هایی چون مکانیک، هیدرواستاتیک، هواشناسی، نظریه موسیقی و غیره نیز بر جای مانده است. اخیراً نیز تحقیقاتی در مورد فعالیت خیام در زمینه هندسه تزئینی انجام شده است که ارتباط او را با ساخت گنبد شمالی مسجد جامع اصفهان تأئید می کند.
تاریخ نگاران و دانشمندان هم عصر خیام و کسانی که پس از او آمدند جملگی بر استادی وی در فلسفه اذعان داشته اند، تا آنجا که گاه وی را حکیم دوران و ابن سینای زمان شمرده اند. آثار فلسفی موجود خیام به چند رساله کوتاه اما عمیق و پربار محدود می شود. آخرین رساله فلسفی خیام مبین گرایش های عرفانی اوست.
اما گذشته از همه اینها، بیشترین شهرت خیام در طی دو قرن اخیر در جهان به دلیل رباعیات اوست که نخستین بار توسط فیتزجرالد به انگلیسی ترجمه و در دسترس جهانیان قرار گرفت و نام او را در ردیف چهار شاعر بزرگ جهان یعنی هومر، شکسپیر، دانته و گوته قرار داد. رباعیات خیام به دلیل ترجمه بسیار آزاد (و گاه اشتباه) از شعر او موجب سوء تعبیرهای بعضاً غیر قابل قبولی از شخصیت وی شده است. این رباعیات بحث و اختلاف نظر میان تحلیلگران اندیشه خیام را شدت بخشیده است. برخی برای بیان اندیشه او تنها به ظاهر رباعیات او بسنده می کنند، در حالی که برخی دیگر بر این اعتقادند که اندیشه های واقعی خیام عمیق تر از آن است که صرفا با تفسیر ظاهری شعر او قابل بیان باشد. خیام پس از عمری پربار سرانجام در سال 517 هجری (طبق گفته اغلب منابع) در موطن خویش نیشابور درگذشت و با مرگ او یکی از درخشان ترین صفحات تاریخ اندیشه در ایران بسته شد.

 

برگرفته از : خانه ریاضیات اصفهان

نمونه سوالات ریاضی آزمون های ورودی مدارس نمونه و تیزهوشان

78. كدام يك از اعداد زير گويا هستند؟
1) 1/3132
2) .... 2/333
3) .... 1/314151
4) گزينه هاي 1و2































95. در شكل زير مقدار x چند درجه است؟

1) 22/5
2)25
3) 27/5
4) 30  

 

 

 

 

riazi3ra.blogfa.com

معجزه رياضی قرآن 2

در سالهای اخيرآقای كورش جم ‌نشان كه در زمان حاضر در تهران زندگی ميكند با يك ماشين حساب كوچك به نتيجه‌ای رسيد

كه شما ميتوانيد آن را امتحان كنيد. او شماره هر سوره را با تعداد آيات آن بصورت زير جمع كرد:

 

	جمع		تعداد آيه		شماره سوره
زوج	8	=	7	+	1
زوج	288	=	286	+	2
فرد	203	=	200	+	3
زوج	180	=	176	+	4
فرد	125	=	120	+	5
...	...		...		...
...	...		...		...
زوج	118	=	5	+	113
زوج	120	=	6	+	114
جمع زوج ها	جمع فردها		جمع آيه ها		جمع سوره ها
6236	6555		6236		6555

 

قابل توجه است كه تعداد زوج‌ها 57 عدد و فردها نيز به همان تعداد يعنی 57 عدد ميباشد كه اين خود به تنهائی يك معجزه است.

اما معجزه ديگر اينست كه اگر حاصل جمع‌های زوج را با هم جمع كنيم 6236 بدست می ‌آيد كه مساوی است با تعداد كل آيه‌های قرآن.

و معجزه ديگر اينكه اگر حاصل جمع‌های فرد را با هم جمع كنيم 6555 بدست ميايد كه مساوی است با جمع كل شماره سوره‌های قرآن.

و معجزه ديگر اينكه اگر رقم‌های 6555 را با رقم‌های 6236 جمع كنيم، عدد 38 بدست ميآيد كه خود ضريب 19 دارد:

           2 X 19 = 38 = (6+2+3+6) + (5+5+5+6)

همانطور كه تعداد سوره‌های قرآن ضريب 19 دارد:   6  X   19  =  114

لطفا توجه كنيد كه اگر تعداد آيه‌های قرآن را كم يا زياد كنيم يا فقط جای سوره‌ها را با هم عوض كنيم

ديگر چنين روابطی وجود نخواهد داشت،

و اين نشان دهنده اينست كه تعداد آيات قرآن همين اندازه و ترتيب سوره‌ها نيز به همين ترتيب بوده

و در نتيجه قرآن نميتواند كار دست انسان باشد.

 

 

برگرفته از :  eholyquran

معجزه رياضی قرآن 1

 

جمله ”بسم الله الرحمن الرحيم“ 19 حرف  است، و در آيه 74:30 سوره مدثر آمده است كه نگهبانان جهنم 19 فرشته هستند

و هر كس كه بگويد قرآن سخن انسان است خداوند او را وارد جهنمی ميكند كه 19 فرشته نگهبان آن هستند.

 

 

برگرفته از :  eholyquran

 

00000

000

00

نسبت طلایی

 

 

دنیای اعداد بسیار زیباست و شما می توانید در آن شگفتیهای بسیاری را بیابید. در میان اعداد برخی از آنها اهمیت فوق العاده ای دارند، یکی از این اعداد که سابقه آشنایی بشر با آن به هزاران سال پیش از میلاد میرسد عددی است بنام "نسبت طلایی" یا Golden Ratio.

پاره خطی را در نظر بگیرید و فرض کنید که آنرا بگونه ای تقسیم کنید که نسبت بزرگ به کوچک معادل نسبت کل پاره خط به قسمت بزرگ باشد. به شکل توجه کنید. اگر این معادله ساده یعنی a²=a*b+b² را حل کنیم (کافی است بجای b عدد یک قرار دهیم بعد a را بدست آوریم) به نسبتی معادل تقریبا" 1.61803399 یا 1.618 خواهیم رسید.

شاید باور نکنید اما بسیاری از طراحان و معماران بزرگ برای طراحی محصولات خود امروز از این نسبت طلایی استفاده می کنند. چرا که بنظر میرسد ذهن انسان با این نسبت انس دارد و راحت تر آنرا می پذیرد. این نسبت نه تنها توسط معماران و مهندسان برای طراحی استفاده می شود بلکه در طبیعت نیز کاربردهای بسیاری دارد که به تدریج راجع به آن صحبت خواهیم کرد.

یک بنای یونان باستان که نسبت طلایی در ساختار آن مشاهده می شود.

اهرام مصر یکی از قدیمی ترین ساخته های بشری است که در آن هندسه و ریاضیات بکار رفته شده است. مجموعه اهرام Giza در مصر که قدمت آنها به بیش از 2500 سال پیش از میلاد می رسد یکی از شاهکارهای بشری است که در آن نسبت طلایی بکار رفته است. به این شکل نگاه کنید که در آن بزرگترین هرم از مجموعه اهرام Giza خیلی ساده کشیده شده است.

مثلث قائم الزاویه ای که با نسبت های این هرم شکل گرفته شده باشد به مثلث قائم مصری یا Egyptian Triangle معروف هست و جالب اینجاست که بدانید نسبت وتر به ضلع هم کف هرم معادل با نسبت طلایی یعنی دقیقا" 1.61804 می باشد. این نسبت با عدد طلایی تنها در رقم پنجم اعشار اختلاف دارد یعنی چیزی حدود یک صد هزارم. باز توجه شما را به این نکته جلب می کنیم که اگر معادله فیثاغورث را برای این مثلث قائم الزاویه بنویسم به معادله ای مانند phi²=phi+b² خواهیم رسید که حاصل جواب آن همان عدد معروف طلایی خواهد بود. (معمولا" عدد طلایی را با phi نمایش می دهند)

طول وتر برای هرم واقعی حدود 356 متر و طول ضلع مربع قاعده حدودا" معادل 440 متر می باشد بنابر این نسبت 356 بر 220 (معادل نیم ضلع مربع) برابر با عدد 1.618 خواهد شد.

کپلر (Johannes Kepler 1571-1630) منجم معروف نیز علاقه بسیاری به نسبت طلایی داشت بگونه ای که در یکی از کتابهای خود اینگونه نوشت : "هندسه دارای دو گنج بسیار با اهمیت می باشد که یکی از آنها قضیه فيثاغورث و دومی رابطه تقسیم یک پاره خط با نسبت طلايي می باشد. اولین گنج را می توان به طلا و دومی را به جواهر تشبیه کرد".

تحقیقاتی که کپلر راجع به مثلثی که اضلاع آن به نسبت اضلاع مثلث مصری باشد به حدی بود که امروزه این مثلث به مثلث کپلر نیز معروف می باشد. کپلر پی به روابط بسیار زیبایی میان اجرام آسمانی و این نسبت طلایی پیدا کرد.

 

 

برگرفته از وبلاگ گروهي معلمان رياضي

مجموعه هاي اعداد

 

 

اعداد طبیعی، اعدادی هستند که برای شمردن به کار می‌روند. مجموعه اعداد طبیعی {... ,۳ ,۲ ,۱} است.

در این مجموعه عدد صفر وجود ندارد و با اضافه کردن آن، مجموعه اعداد حسابی به وجود می‌آید. این مجموعه یک مجموعه نامتناهی است.

در ریاضیات، مجموعه اعداد طبیعی را با نماد N یا نمایش می‌دهند. این حرف از آغاز واژه انگلیسی Natural، به معنای طبیعی، گرفته شده است.

اعداد حسابی همان اعداد طبیعی هستند که صفر هم به آنها اضافه شده است.

اعداد صحیح به مجموعه اعداد طبیعی مثبت و اعداد طبیعی منفی و عدد صفر گفته می‌شود. این مجموعه را در ریاضی معمولا با Z یا (ابتدای کلمه zahlen که در زبان آلمانی به معنی اعداد است) نشان می‌دهند. مجموعه اعداد صحیح، مانند مجموعه اعداد طبیعی، یک مجموعه شمارای نامتناهی ست.

شاخه‌ای از ریاضیات که به مطالعه اعداد صحیح می پردازد، نظریه اعداد نام دارد.

اعداد گویا (یا به زبان دیگر، اعداد کسری) حاصل تقسیم دو عدد صحیح هستند، به شرطی که عدد دوم صفر نباشد. هر عدد گویا را به شکل a/b یا می‌توان نوشت (که a و b اعداد صحیح اند).

در ریاضیات مجموعه اعداد گویا را با نمایش می‌دهند. مجموعه اعداد گویا مجموعه‌ای شمارا است. این مجموعه، همچنین، زیرمجموعه‌ای چگال (dense) از مجموعهٔ اعداد حقیقی است.

اعداد گنگ، یا اعداد اصم، اعدادی حقیقی هستند که گویا نباشند، یعنی نتوان آن‌ها را به صورت کسری که صورت و مخرجش عدد صحیح باشند نوشت. مجموعه اعداد گنگ مجموعه‌ای ناشمارا است.

میدان تمام اعداد گویا و گنگ را اعداد حقیقی گویند و آن را با نمایش میدهند. اعداد حقیقی را میتوان با اضافه کردن عدد موهومی() بسط داد. اعدادی به فرم a + bi که در آن a و b هر دو عدد حقیقی هستند را اعداد مختلط مینامند.

 

برگرفته از وبلاگدرس شیرین ریاضی

نمونه سوالات پایه سوم راهنمایی

 نمونه سوالات پایه سوم راهنمایی

1 ) اگر تعداد مقسوم علیه های یک عدد فرد باشد ، آن عدد .................  است .

     الف)فرد              ب ) زوج                        ج ) او ل                        د) مجذور کامل

2 ) جذر کدام عدد از خودش بزرگتر است ؟

     الف ) 1                ب ) 1/1                       ج )25/0                        د ) 01/1

3 ) کدامیک از اعداد زیر اول  است ؟

 الف ) 187               ب ) 11011                    ج ) 20013                    د ) 103

4 )  15کارگر قرار گذاشتند کاری را در 24 روز تمام کنند ، پس از آن که ربع از کار انجام شد 3 نفر به آنها اضافه شد ،بقیه ی کار  چند روزه تمام خواهد شد ؟     

  الف ) 18                   ب ) 12                         ج ) 15                        د ) 20

5 ) جذر تقریبی عدد  00009 / 0   کدام است ؟

 الف )  003 /0          ب ) 009 /0               ج ) 090 /0                   د ) 030 /0

۶ )اگر 2 = ^x 3  باشد  ، مقدار عددی   ^x 27  چقدر است ؟

 الف ) 8                        ب )  9                       ج )  6                             د )  18

6 ) در یک دایره چند زاویه ی محاطی می توان رسم کرد که اندازه ی آن 90 درجه باشد ؟

 الف ) 4                         ب )2                         ج) 1                               د) بی شمار

7 )  اگر داشته باشیم : 3  x+y=   و ۸= ۳+xو    3  + z =x      آنگاه مقدار y   برابر است با :

 الف ) 1-                      ب )  1+                         ج)    2-                            د) 2+

 8)  مجموع دو عدد 24 و همچنین دو برابر عدد اول به اضافه ی عدد دوم 30 می باشد. عدد بزرگتر چند است ؟

 الف ) 12                       ب ) 18                        ج)     11                         د)  17 

 9 ) کدامیک از اشکال هندسی زیر چند ضلعی منتظم است ؟ 

 الف ) لوزی            ب )   مستطیل                ج)    متوازی الاضلاع          د)   مربع

10 ) حاصل عبارت     2- [ 3- [ ( 5- ) - ] 2- ]  3-     چند است ؟

  الف )  3                 ب )     2-                       ج)  10 +                           د) 10-

   

 

برگرفته از وبلاگدرس شیرین ریاضی

نمونه سوالات پایه دوم راهنمایی

1 )کدام جمله نادرست است ؟

  الف ) صفر از تمام اعداد مثبت کوچکتر است.        

    ب ) مجموعه اعداد صحیح مثبت عبارتند از : { . . . و 3و 2و 1 } A=

    ج )  6-  > 9-                    

  د ) مجموعه اعداد صحیح منفی عبارتند از :  { . . . و 3- و 2- و 1- و 0 }A=                            

۲ ) دمای هوای مشهد 3 درجه زیر صفر است ، در همان روز بیرجند 5 درجه سردتر است ، دمای هوای بیرجند برابر است با :

 الف ) 8 درجه زیر صفر       ب ) 2 درجه زیر صفر           ج ) صفر           د ) 2 درجه بالای صفر

 3 ) در تساوی  3¹⁵  =  3³ × ^x 81      مقدار  x  کدام است ؟

  الف )   5                         ب ) 9                          ج ) 3                    د ) 12

 4) کدامیک از موارد زیر درست است ؟

 الف )  ₆ ( 12345)            ب ) ₃( 23001 )              ج ) ₅ ( 316 )            د ) ₂(  213 )

 5 ) عدد  ₂ ( 10101 ) در مبنای  10 کدام است ؟

 الف ) 20                        ب )   21                    ج )  15                      د )   16

 6 ) مجموعه اعداد طبیعی بین 3- تا5 +چند عضو دارد ؟

 الف )  7                       ب )       4                    ج )      9                د )     5

7 )  مساحت مربعی  28 /1    سانتی متر مربع است . طول ضلع آن تقریبأ چند  سانتی متر است ؟

 الف )   41/0                ب ) 114 /0               ج)  14 /1                 د )   24 / 1

8 )  حاصل عبارت (15- 10 – 1- )   کدام است ؟

الف )     24                    ب )     6-                 ج )    26-                  د )  هیچکدام

9 ) عدد 547  چند مقسوم علیه اول دارد ؟

 الف )   2                     ب )   3                        ج )  1                      د )   5

10 ) در یک کلاس 20  نفری معدل  کلاس 14 است و در یک کلاس 30 نفری معدل کلاس 12 است . میانگین دو کلاس کدامست ؟

  الف )   13                  ب )  8/12                  ج )  2/ 13                  د )    5/12

 

برگرفته از وبلاگدرس شیرین ریاضی

رسم پذیر بودن یک عدد

عدد a رو رسم پذیر گوییم اگر بتوان تنها با استفاده از خط کش و پرگار پاره خطی به طول a رسم کرد. و البته فرض ما بر این است که یک واحد طول داده شده باشد.

از این به بعد هر جا کلمه رسم پذیری آمد منظور همان رسم پذیری به وسیله خط کش و پرگار است.

رسم پذیری بعضی عددها بسیار واضح است. مثلا ۱ و ۲ و ... چون اینها ضریبهایی از واحد طول هستند. اما بعضی دیگر احتیاج به بررسی دارند مثل “رادیکال ۲”. آیا این عدد رسم پذیر است؟

از دوران دبیرستان به یاد داریم که : از هر نقطه خارج یک خط مفروض می توان خطی عمود بر آن رسم کرد.

اگر محل تلاقی این دو خط را مبدا در نظر بگیریم به این محور محور رسم پذیر می گوییم.

در این محور:

۱) (a,۰) یا (۰,a) را رسم پذیر گوییم اگر a رسم پذیر باشد.

۲) (a,b) را رسم پذیر گوییم اگر a و b رسم پذیر باشند.

هر شکلی را که روی این محور بتوان رسم کرد، اعم از پاره خط، دایره و... یک شکل رسم پذیر گوییم.

++ اگر یک پاره خط در این محورها رسم کنیم، طول پاره خط عددی رسم پذیر است.

حال می توانیم به راحتی بگوییم که “رادیکال۲” رسم پذیر است. چون اگر (۰.۱) و (۰و۱) رو روی محور به هم وصل کنیم بنابر قضیه فیثاغورث پاره خطی به طول “رادیکال۲″ داریم.

حال سوالی که مطرح می شود این است که آیا همه اعداد رسم پذیرند؟ و اگر نه چه عددهایی رسم پذیرند و کدام ها رسم پذیر نیستند.

همه عددها رسم پذیر نیستند و تعیین رسم پذیری آنها به کارهای تخصصی می انجامد اما حالا که مفهوم عدد رسم پذیر رو فهمیدیم چند حکم کلی درباره رسم پذیری رو هم بیان می کنیم:

۱) اگر a و b رسم پذیر باشند آنگاه a+b , a-b , a.b , a/b نیز رسم پذیرند.

۲) اگر a رسم پذیر باشد آنگاه “رادیکال a” نیز رسم پذیر است.

۳) موارد زیر معادلند (یعنی اگر یکی از آنها در مورد یک عدد درست باشد دو تای دیگر نیز درستند)

الف) x رسم پذیر است.

ب) (Cos(x رسم پذیر است.

ج) (Sin(x رسم پذیر است.

۴) همه اعداد گویا (Q) رسم پذیر هستند.

اکنون کار قضاوت در مورد رسم پذیری عددها خیلی ساده تر شد. تنها عددی ممکن است رسم پذیر نباشد که گنگ باشد. اما تعیین اینکه عدد گنگی رسم پذیر است یا نه دارای تکنیکهای ویژه ایست.

▪ چند حکم در مورد رسم پذیری اعداد با استفاده از میدان های شکافنده:

۱) مجموعه همه عددهای رسم پذیر زیرمیدانی از میدان اعداد حقیقی ® است.

۲) اگر a عددی رسم پذیر باشد آنگاه a در توسیعی از Q قرار دارد که درجه آن توسیع روی Q توانی از ۲ است.

۳) (نتیجه ۲ و پر کاربرد تر از آن): اگر a در یک چندجمله ای تحویل ناپذیر روی Q صدق کند که درجه آن توانی از ۲ نباشد آنگاه a رسم پذیر نیست.

۴) اگر a ریشه n-ام اولیه واحد باشد آنگاه n ضلعی منتظم رسم پذیر است اگر وفقط اگر درجه (Q(a روی Q توانی از ۲ باشد.

۵) اگر P عددی اول باشد آنگاه P ضلعی منتظم رسم پذیر است اگر وفقط اگر P عدد اول فرما باشد.

▪ چند مساله تاریخی زیر هم که شاید از زمان اقلیدس وجود داشته و با استفاده از بحث رسم پذیری حل شدند در زیر می بیند:

۱) آیا می توان به کمک خط کش و پرگار هر زاویه را به سه قسمت تقسیم کرد؟ (تثلیث زاویه)

۲) آیا می توان مربعی هم مساحت با یک دایره دلخواه رسم کرد؟ (تربیع دایره)

۳) آیا می توان برای هر مکعب دلخواه مکعبی رسم کرد که حجم آن دو برابر مکعب مفروض باشد؟ (تضعیف مکعب) تضعیف یعنی مضاعف کردن. یعنی دو برابر کردن.

ثابت شده است که هیچ یک از این احکام در حالت کلی درست نیستند. مثلا “تثلیث زاویه ۶۰ درجه” و “تربیع دایره ای به شعاع یک” و “تضعیف مکعبی به ابعاد یک” ممکن نیست.

 

برگرفته از وبلاگ گروهي معلمان رياضي
 

عدد بسيار اول

آيا مي دانيد عدد بسيار اول به چه عددي مي گويند؟

من هم برايم بسيار جالب بود و دوست داشتم شما هم بدونيد.

عدد 373 همان عدد مورد نظر است . از هر طرف به آن نگاه كني عدد اول است. اگر يك رقم يك رقم در نظر بگيريم ،هر رقمي يك عدد اول است. و همينطور اگر دو رقم د و رقم در نظر بگيريم باز هم اعداد اول داريم. و خود عدد هم كه سه رقمي است نيز عددي اول است. پس به اين عدد ، عدد بسيار اول مي گوئيم .

جالب بود نه؟؟؟؟؟

 

برگرفته از وبلاگدرس شیرین ریاضی

تعداد ارقام یک عدد تواندار

برای پیدا کردن تعداد ارقام مثلاْ ۴^۲۰ عدد توان را در سه پنجم ضرب میکنیم و با یک جمع می کنیم. البته

در بعضی موارد جواب ضرب توان در سه پنجم عددی اعشاری است که می توان قسمت صحیح آن را محاسبه کرد.

به این ترتیب داریم : سه پنجم عدد۲۰=۱۲ و تعداد ارقام آن =۱۲+۱=۱۳ رقمی

 

برگرفته از وبلاگدرس شیرین ریاضی

روش ساخت مربع‌های جادویی

روش ساخت مربع‌های جادویی

برای ساخت مربع‌های جادویی روش‌های گوناگونی وجود دارد که به بخشی از آن‌ها در زیر اشاره می‌کنیم، برای تمامی مقادیر n مربع جادویی وجود دارد فقط برای n=2 مربع جادویی نداریم،مربع‌های جادویی را به ۳ دسته تقسیم می‌کنیم مربع‌های جادویی با n فرد،n=4kوn=4k+2 که ما در اینجا طریقهٔ ساختن مربع جادویی فرد و مضرب ۴را بیان می‌کنیم،برای n>5 تعداد مربع‌های جادویی درجه n از سوالات حل نشده در ریاضیات است مثلاً تعداد مربع‌های جادویی n×n برای n=1,2,3,... برابر است با

‎

1,0,1,880,275305224,....

 روش اول برای ساختن مربع‌های جادویی درجه فرد

ابتدا با خانهٔ وسط سطر اول شروع کرده و اولین عدد که در اینجا 1 است را در آن قرار می‌دهیم توجه کنید که حرکت اصلی برای پر کردن مربع‌ها حرکت قطری بالا و راست است که در هر مرحله یک بار انجام می‌شود اگر در هر مرحله‌ای به یک مربع پر شده رسیدیم یک حرکت به سمت پایین انجام می‌دهیم و ادامهٔ آن همان حرکت قبلی خواهد بود و هنگامی که یک حرکت به انتهای یکی از اضلاع می‌رسد از ضلع مقابل و در همان ردیف ادامه خواهیم داد. البته می‌توان از هر عددی بزرگتر از 1 هم شروع کرد و آن را در مکان 1 قرار داد و همین روش را ادامه داد.

 روشی دیگر برای ساختن مربع‌های جادویی درجه فرد

اگر مربع شما از درجه n است ( n فرد است)ٍ به هر ضلع مربع از هر طرف یک ضلع دیگر به اندازه ی n-2 تا مربع (از وسط ) اضافه کنید و این کار را آنقدر ادامه دهید که آخرین ضلع به اندازه ی 1 مربع باشد. سپس مربع‌ها را به صورتی که در شکل نمایش داده شده پر می‌کنیم و سپس اعدادی را که خارج از مربع n*n قرار دارند را روی سطر یا ستونی که قرار گرفته‌اند به تعداد خانه‌هایی برابر با رتبه مربع وفقی (در این مثال 3) انتقال می‌دهیم،مربع وفقی تنظیم می‌شود. شکل زیر بیانگر چگونگی انجام این روش است : ( برای راحتی کار در اینجا n را 3 فرض کردیم ) 

 

یک روش برای بدست آوردن مربع جادویی مضرب 4

ابتدا اقطار مربع را بصورت 4در 4 در نظر می‌گیریم اول همه اعداد تا توان دوی n به ترتیب در سطر هااز یکی از گوشه‌ها نوشته می‌شوند طوری که فقط روی قطر‌ها را پر می‌کنیم و بقیه را خالی می‌گذاریم و سپس از انتها دوباره اعداد شروع به نوشتن می‌شود اما این بار در جاهای خالی عدد می‌نویسیم. ‎

مربع وفقی

مربع وفقی : مربعی هستش که جمع عددهای درون تمام ستونها و ردیفها و قطرهای اون مربع با هم برابرند ...

برای نمونه : یک مربع 5 در 5 ، که با عددهای مختلف پر شدند ، 5 ستون و 5 ردیف و 2 قطر داره ، که تمام اینها ، جمع عددهای درنشون با هم برابر است ... یعنی مثلآ اگه جمع عددهای یک ستون در این مربع 65 باشه ، جمع عددهای تمام ستونهای دیگه و ردیفها و قطرها هم باید 65 باشه ...